derivace

Základní pojem diferenciálního počtu v matematické analýze. Umožňuje popsat, jak se funkce mění v závislosti na malé změně argumentu, a lze ji interpretovat jako okamžitou rychlost změny nebo směrnici tečny ke grafu funkce. Derivace tak tvoří jeden z hlavních nástrojů pro zkoumání a aproximaci funkcí v nejrůznějších aplikacích, od fyziky až po ekonomii.

Pro funkci jedné reálné proměnné $y = f(x)$ se derivace v bodu $x$ definuje jako limitní hodnota podílu změny funkce k odpovídající změně argumentu: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x},$$ pokud tato limita existuje. Tato hodnota určuje, jak rychle se funkce $f$ v bodu $x$ mění, a lze ji geometricky interpretovat jako směrnici tečny ke grafu funkce $f$ v bodě $x$.

V praktických výpočtech se často využívá následující aproximace, která je založena na myšlence derivace a úzce souvisí s diferenciálem: $$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\,\Delta x \quad\text{pro velmi malé}\ \Delta x.$$ Tato lineární aproximace popisuje, jak se hodnota funkce mění, pokud argument posuneme o malé množství $\Delta x$.

Pro funkce více proměnných (např. $z = f(x, y)$) jsou analogem derivace tzv. parciální derivace, značené $\frac{\partial f}{\partial x}$ a $\frac{\partial f}{\partial y}$ a definované limitem při změně pouze jedné proměnné, zatímco ostatní jsou fixní. V tomto kontextu pak mluvíme o gradientu funkce a o totálním diferenciálu.

Derivace může mít vyšší řády (např. $f''(x)$ pro druhou derivaci), což odpovídá studiu křivosti (zakřivení) grafu funkce a určení, zdali je funkce ve zkoumaném bodě konvexní či konkávní. Vyšší derivace nacházejí významné uplatnění například v teorii Taylorových řad a při výpočtech komplexnějších aproximací.

Z historického hlediska byla derivace (spolu s integrálem) rozpracována na konci 17. století G. W. Leibnizem