totální diferenciál

Totální diferenciál dvou proměnných charakterizuje, jak se funkce $f(x, y)$ mění při malých změnách (tzv. přírůstcích) proměnných $x$ a $y$. Konkrétně, mějme bod $\bigl(a_1, a_2\bigr)$ v definičním oboru funkce $f$. Pokud jsou čísla $h_1, h_2$ dostatečně malá, pak platí

$$f\bigl(a_1 + h_1,\; a_2 + h_2\bigr)\;-\;f\bigl(a_1,\; a_2\bigr) \;=\; A_1\,h_1 \;+\; A_2\,h_2 \;+\; Z,$$

kde $A_1$ a $A_2$ jsou konstanty závislé na bodu $\bigl(a_1, a_2\bigr)$ (např. hodnoty parciálních derivací v tomto bodě) a $Z$ je „zbytkový člen“, který je oproti $\sqrt{h_1^2 + h_2^2}$ zanedbatelně malý. Formálně:

$$Z \;=\; \sqrt{\,h_1^2 \;+\; h_2^2\,}\;\tau\bigl(h_1, h_2\bigr), \quad\text{kde}\quad \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\;\frac{\tau(h_1,h_2)}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}}\;=\;0.$$

Pokud má funkce $f$ v bodu $\bigl(a_1, a_2\bigr)$ totální diferenciál, znamená to, že parciální derivace

 $f$ podle $x$ a $y$ jsou v tomto bodě spojité. Naopak, pokud totální diferenciál existuje a lze ho zapsat jako $\,A_1\,h_1 + A_2\,h_2,$ platí:

$\displaystyle A_1 \;=\; \frac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2), \quad A_2 \;=\; \frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2).$

Značíme-li totální diferenciál funkce $f$ symbolem $\mathrm{d}f$ a přírůstky nezávisle proměnných $x,\,y$ symboly $\mathrm{d}x,\, \mathrm{d}y$, dostáváme tzv. tradiční zápis totálního diferenciálu:

$$\mathrm{d}f \;=\; \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y.$$

Tento koncept se analogicky rozšiřuje na funkce více proměnných (s větším počtem generalizovaných souřadnic) a také na funkce vektorové. Totální diferenciál představuje základní nástroj k přibližnému výpočtu funkčních hodnot, zejména pokud jsou změny vstupních proměnných malé.