totální diferenciál

Totální diferenciál dvou proměnných charakterizuje, jak se funkce \(f(x, y)\) mění při malých změnách (tzv. přírůstcích) proměnných \(x\) a \(y\). Konkrétně, mějme bod \(\bigl(a_1, a_2\bigr)\) v definičním oboru funkce \(f\). Pokud jsou čísla \(h_1, h_2\) dostatečně malá, pak platí

\[ f\bigl(a_1 + h_1,\; a_2 + h_2\bigr)\;-\;f\bigl(a_1,\; a_2\bigr) \;=\; A_1\,h_1 \;+\; A_2\,h_2 \;+\; Z, \]

kde \(A_1\) a \(A_2\) jsou konstanty závislé na bodu \(\bigl(a_1, a_2\bigr)\) (např. hodnoty parciálních derivací v tomto bodě) a \(Z\) je „zbytkový člen“, který je oproti \(\sqrt{h_1^2 + h_2^2}\) zanedbatelně malý. Formálně:

\[ Z \;=\; \sqrt{\,h_1^2 \;+\; h_2^2\,}\;\tau\bigl(h_1, h_2\bigr), \quad\text{kde}\quad \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\;\frac{\tau(h_1,h_2)}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}}\;=\;0. \]

Pokud má funkce \(f\) v bodu \(\bigl(a_1, a_2\bigr)\) totální diferenciál, znamená to, že parciální derivace  \(f\) podle \(x\) a \(y\) jsou v tomto bodě spojité. Naopak, pokud totální diferenciál existuje a lze ho zapsat jako \(\,A_1\,h_1 + A_2\,h_2,\) platí:

\(\displaystyle A_1 \;=\; \frac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2), \quad A_2 \;=\; \frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2).\)

Značíme-li totální diferenciál funkce \(f\) symbolem \(\mathrm{d}f\) a přírůstky nezávisle proměnných \(x,\,y\) symboly \(\mathrm{d}x,\, \mathrm{d}y\), dostáváme tzv. tradiční zápis totálního diferenciálu:

\[ \mathrm{d}f \;=\; \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y. \]

Tento koncept se analogicky rozšiřuje na funkce více proměnných (s větším počtem generalizovaných souřadnic) a také na funkce vektorové. Totální diferenciál představuje základní nástroj k přibližnému výpočtu funkčních hodnot, zejména pokud jsou změny vstupních proměnných malé.