integrál

Matematická analýza

[Latina], jeden ze základních pojmů matematické analýzy. Počátky užívání integrálu jsou u I. Newtona a G. W. Leibnize (17. století). V současné matematice znamená integrál zpravidla určitý integrál. V nejjednodušším případě se definuje integrál funkce ƒ od a do b, kde ƒ (tzv. integrand) je reálná funkce definovaná na intervalu <a, b>. Zvolí se taková čísla a₀, a₁, ..., a_k, že platí a = a₀ < a₁, < . . . < a_k = b (tzv. dělení intervalu <a, b>), a čísla c₁, c₂, ..., c_k, že platí a_j-1 ≤ c_j ≤ a_j pro j = 1, 2, . . , k  Utvoří se tak zvaný integrální součet: S = _{j = 1}∑^k ƒ (c_j) (a_j – a_{j -1}). Jestliže při neomezeném „zjemňování“ dělení (tj. zvětšování počtu dělicích bodů  a_j  a zkracování vzdálenosti sousedních dělicích bodů a_{j – 1}, a_j) se integrální součty S blíží jisté pevné hodnotě, nazýváme toto číslo integrálem funkce ƒ od a do b a označíme je _a∫^b ƒ(x)dx (definice Riemannova integrálu). V geometrii _a∫^b ƒ(x)dx znamená obsah části roviny ohraničené osou x, grafem funkce ƒ a úsečkami rovnoběžnými s osou y ve vzdálenostech a, b (pokud je některá část obrazce pod osou x, bere se její obsah se záporným znaménkem). Název neurčitý integrál se dříve užíval k označení primitivní funkce. Vztah mezi (určitým) integrálem a primitivní funkcí udává vzorec (F je libovolná primitivní funkce k ƒ na <a, b>): vzorec (1) _a∫^y ƒ(x)dx = F(y) – F(a), y∈<a,b>. Tento vzorec použil k definici integrálu I. Newton. Vzorec ukazuje, že pojem integrál je v jistém smyslu protějškem pojmu derivace. Popsaný integrál funkce jedné proměnné se někdy nazývá jednoduchý integrál. Obdobným způsobem pomocí integrálních součtů lze definovat integrální funkce více proměnných (dvojný integrál, trojný integrál, obecně n-rozměrný integrál) a rovněž křivkový a plošný integrál. Vícenásobný integrál vzniká postupným integrováním podle první, druhé atd. proměnné. Značíme _c∫^d _a∫^b ƒ(x,y) dxdy (dvojnásobný integrál funkce ƒ(x,y), kde a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d). Vícerozměrný integrál (dvojný, trojný atd. integrál funkce ƒ přes množinu P) značíme ∫∫ ƒ(x,y)dxdy (dvojný integrál). Při výpočtu převádíme vícerozměrné integrály na vícenásobné. Moderní matematika vytvořila řadu zobecnění a modifikací původního pojmu integrál, které se liší jednak množinou funkcí, pro které integrál existuje, jednak konkrétními vlastnostmi; mj. umožňují stanovit integrál funkce přes složitější množiny, než jsou intervaly. K nejdůležitějším patří Lebesgueův-Stieltjesův integrál a Perrenův integrál.Pojem integrál je důležitý v řadě aplikací. Užívá se k výpočtu nejrůznějších fyzikálních veličin, například délky křivek, obsahů a objemů, hmotnosti a momentů tělesné práce, potenciálu atd. Odvětví matematiky, které se zabývá metodami výpočtu integrálu, se nazývá integrální počet. V integrálním počtu se studují především metody nalezení primitivní funkce k dané funkci, což umožňuje výpočet integrálu podle vzorce (1), ale i numerické metody výpočtu integrálu.

Vytvořeno: 14. 3. 2000
Aktualizováno: 5. 11. 2020
Autor: -red-

Odkazující hesla: Jacopo Francesco Riccati, limita.