Lebesgueův-Stieltjesův integrál

Jedna z variant pojmu integrál. Jsou-li $f$ a $m$ reálné funkce definované na intervalu $\langle a, b \rangle$ a je-li funkce $m$ neklesající, lze Lebesgueův–Stieltjesův integrál přibližně vyjádřit pomocí součtů:

$$\sum_{i = 1}^{k} f(c_i)\, \bigl( m(a_i) - m(a_{i-1}) \bigr),$$

kde dělení $a = a_0 < a_1 < \dots < a_k = b$ a body $c_i$ splňují podmínky $a_{i-1} \leq c_i \leq a_i$. Přesné podmínky na taková dělení a body $c_i$ jsou technicky složitější a závisí na vlastnostech funkcí $f$ a $m$.

Lebesgueův–Stieltjesův integrál zobecňuje Riemannův i klasický Lebesgueův integrál tím, že integrace neprobíhá vůči proměnné $x$, ale vůči funkci $m(x)$, která slouží jako tzv. integrační míra. Tento přístup umožňuje přesně zachytit případy, kdy funkce $f$ není integrovatelná v klasickém smyslu, ale lze ji integrovat vůči diskrétní nebo skokové funkci $m$.

Integrál se používá také v případě funkcí více reálných proměnných, zejména v teorii pravděpodobnosti, statistice nebo v analýze náhodných procesů.