Hilbertův prostor

Kompletní metrický vektorový prostor se skalárním součinem, který hraje klíčovou roli v matematické analýze a kvantové mechanice. Jedná se o obecnější pojem než eukleidovský prostor, protože umožňuje pracovat s nekonečněrozměrnými prostory funkcí.

Hilbertův prostor $\mathcal{H}$ je vektorový prostor nad tělesem reálných nebo komplexních čísel, vybavený skalárním součinem $\langle \cdot, \cdot \rangle$, který splňuje následující vlastnosti:

• $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ (Hermitovská symetrie).
• $\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$ (linearita).
• $\langle \alpha x, y \rangle = \alpha \langle x, y \rangle$ pro všechna čísla $\alpha$.
• $\langle x, x \rangle \geq 0$ a $\langle x, x \rangle = 0$ právě tehdy, když $x = 0$.

Metrika v Hilbertově prostoru se definuje normou $\|x\|$, odvozenou ze skalárního součinu: $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$ Kompletnost znamená, že každá Cauchyovská posloupnost vektoru v $\mathcal{H}$ konverguje k nějakému vektoru v $\mathcal{H}$.

Příklady Hilbertových prostorů

• $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^n$ se standardním skalárním součinem.
• Funkční prostor $L^2(a, b)$ s normou $$\|f\|_2 = \left( \int_a^b |f(x)|^2\,dx \right)^{1/2}.$$
• Sekvenční prostor $\ell^2$, tedy množina všech nekonečných posloupností $(x_n)$, pro které platí: $$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty.$$

Vlastnosti

Hilbertovy prostory jsou základním nástrojem v kvantové mechanice, kde stavové vektory reprezentují stavy fyzikálních systémů. V matematické analýze jsou důležité díky možnosti rozkladu funkcí do ortogonálních bází (např. Fourierovy řady). Klíčovými koncepty jsou:

• Ortogonalita: Vektory $x, y$ jsou ortogonální, pokud $\langle x, y \rangle = 0$.
• Ortonormální báze: Spočetná ortonormální množina $\{e_n\}$ tvoří bázi Hilbertova prostoru, pokud pro každý vektor $x$ platí: $$x = \sum_{n=1}^{\infty} \langle x, e_n \rangle e_n.$$
• Rieszova věta: Každý spojitý lineární funkcionál na Hilbertově prostoru lze vyjádřit jako skalární součin s pevným vektorem.