Fourierova řada

Způsob reprezentace periodické funkce jako součtu sinusových a kosinusových funkcí různých frekvencí. Tato řada je klíčovým nástrojem v analýze signálů, řešení parciálních diferenciálních rovnic a ve fyzice.

Nechť $f(x)$ je periodická funkce s periodou $T$, tedy $f(x + T) = f(x)$. Fourierova řada této funkce se zapisuje jako:

$$f(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right),$$

kde Fourierovy koeficienty $a_n$ a $b_n$ se počítají pomocí integrálů:

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \,dx,$$ $$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \,dx.$$

Koeficient $a_0$ se určuje jako:

$$a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \,dx.$$

Fourierovy řady umožňují rozklad funkcí na složky s různými frekvencemi, což se využívá například v analýze zvuku, obrazu, řešení tepelných rovnic a dalších aplikacích ve fyzice a inženýrství.

Existuje také zobecnění Fourierovy řady na funkce, které nejsou nutně periodické – tzv. Fourierova transformace