Banachův prostor

Úplný normovaný vektorový prostor, tedy metrický prostor, v němž lze měřit délky vektorů a vzdálenosti mezi nimi, a který je zároveň kompletní (každá Cauchyho posloupnost v něm konverguje k nějakému vektoru v tomtéž prostoru). Banachovy prostory jsou důležitým nástrojem v funkcionální analýze.

Formálně je Banachův prostor $\mathcal{B}$ vektorový prostor nad reálnými nebo komplexními čísly, vybavený normou $\|\cdot\|$, splňující:

• $\|x\| \geq 0$ a $\|x\| = 0$ právě tehdy, když $x = 0$.
• $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$ pro všechna čísla $\alpha$.
• $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ (trojúhelníková nerovnost).

Z normy lze odvodit přirozenou metriku na Banachově prostoru: $$d(x, y) = \|x - y\|,$$ což umožňuje studovat vlastnosti související s konvergencí a spojitostí.

Banachův prostor je kompletní, což znamená, že každá Cauchyho posloupnost $\{x_n\}$ má limitu v prostoru $\mathcal{B}$, tedy: $$\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N, \quad \forall m, n > N: \quad \|x_m - x_n\| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad \exists x \in \mathcal{B}: \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x.$$

Příklady Banachových prostorů zahrnují:

• $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^n$ s normou $$\|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \dots + |x_n|^2}.$$
• Funkční prostor $L^p(a, b)$ pro $1 \leq p < \infty$ s normou $$\|f\|_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p}.$$
• Sekvenční prostor $\ell^p$, kde $\{x_n\}$ je posloupnost splňující $$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty.$$

Banachovy prostory hrají zásadní roli v teorii diferenciálních rovnic, spektrální analýze operátorů a moderní teorii pravděpodobnosti. Důležitými případy Banachovu prostoru jsou euklidovské prostory a Hilbertovy prostory