topologický prostor

Jeden ze základních pojmů topologie. Topologický prostor je dvojice (P,T), kde P je množina a T je soustava některých jejích podmnožin (jež se nazývají otevřené množiny) takových, Ø, P, sjednocení libovolné soustavy otevřených množin a průnik dvou otevřených množin jsou otevřené. Doplňky otevřených množin se nazývají uzavřené. Uzávěr X množiny X’⊂P, je průnik všech uzavřených F⊂P, obsahujících X. Prvky x∈X se nazývají body uzávěru množiny X. Množina U⊂P se nazývá okolím bodu x∈P, jestliže existuje taková otevřená G, že x∈G⊂U. Soustava W okolí bodu x∈P se nazývá úplnou, jestliže pro každé okolí V bodu x existuje U∈W takové, že U⊂V. Soustava otevřených množin B se nazývá otevřenou bází, jestliže každá otevřená množina je sjednocením jisté podsoustavy B'⊂B, pokrytím, jestliže sjednocením B je P. Podprostorem topologického prostoru (P, T) se nazývá topologický prostor (Q,S), kde Q&subP a S je soustava všech průniků Q s množinami otevřenými v (P, T). Jsou-li (P₁, T₁) a (P₂, T₂) topologickým prostorem, pak jejich kartézským součinem se nazývá topologický prostor (P₁ × P₂,T), jehož otevřenou bázi tvoří množiny G₁ × G₂, kde G_i je otevřená v (P_i, Ti). Metrický prostor je zároveň topologickým prostorem, jestliže se za otevřenou bázi vezme soustava všech otevřených koulí. Každý metrický prostor je homeomorfní s jistým podprostorem Hilbertova prostoru dostatečně velké mohutnosti. Lineárně uspořádaná množina je zároveň topologickým prostorem, jestliže se za otevřenou bázi vezme soustava všech otevřených intervalů. Topologický prostor (P, T) se nazývá Hausdorffův, jestliže pro libovolné body x,y∈P, x ≠ y, existují otevřené G a H takové, že x∈G, y∈H, G∩H = &Olash;. Regulární, jestliže ke každému bodu x∈P a každému jeho okolí U existuje okolí V bodu x takové, že V’ ⊂ U; úplně regulární, jestliže je Hausdorffův a ke každému bodu x∈P a každému jeho okolí U existuje spojitá funkce ƒ taková, že ƒ(x) = 1 a ƒ(y) = 0 pro y∈P- V. Kompaktní, jestliže každé jeho pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Každý kompaktní Hausdorffův prostor je úplně regulární. Ke každému úplně regulárnímu prostoru P existují kompaktní Hausdorffovy prostory S, jejichž podprostorem je P. Mezi těmito S je jeden význačný prostor, který má název Čechův-Stoneův obal prostoru P.

Vytvořeno: 14. 3. 2000
Aktualizováno: 6. 9. 2006
Autor: -red-

Odkazující hesla: prostor, Uzávěr množiny.