funkce

Matematika, jeden ze základních pojmů matematické analýzy; zvláštní případ zobrazení, resp. binární relace. Funkcí se rozumí předpis, který každému prvku nějaké množiny čísel nebo skupin (uspořádaných n-tic) čísel (tzv. definičního oboru) přiřazuje číslo. Prvek definičního oboru se nazývá argument (nezávisle proměnná), přiřazené číslo je hodnota funkce (funkční hodnota). Podle toho, jakého typu je definiční obor, jde o funkci jedné nebo více proměnných, o funkci s reálnou nebo komplexní proměnnou ap. Podle toho, jaké jsou hodnoty funkce, jde o reálnou, resp. o komplexní funkci. Funkce lze definovat pomocí pojmů teorie množin jako podmnožinu F kartézského součinu definičního oboru funkce a množiny hodnot F, která má následující vlastnost: je-li $(x,y) \in F$, $(x,z) \in F$ pak $y=z$ (tj. funkce přiřazuje každému prvku svého definičního oboru jen jeden prvek z množiny hodnot). Funkce se značí zpravidla písmeny: $f, g, F, \Phi$ ap. Některé důležité funkce mají svá tradiční označení, například $sin, log$. Hodnota funkce pro prvek $x$ z definičního oboru se pak zapisuje $f(x)$, $\sqrt{x}$, $sin\space x$ ap. Funkce je nejčastěji dána vzorcem, který popisuje přiřazení mezi argumentem $x$ a hodnotou funkce, například:

 

$f(x)=x^2–3$

 

 

$g(x)=sin \space x$

 

 

$exp \space x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{n!}$

 

Funkce však může být dána i jiným způsobem, například slovním popisem (například funkce, která každému číslu $x$ přiřazuje počet prvočísel menších než $x$) nebo výčtem či tabulkou hodnot (zpravidla empirická funkce). Pomocí funkce lze matematicky popsat nejrůznější přírodní a společenské jevy, kdy jedna veličina se mění v závislosti na jiných (rychlost pohybujícího se tělesa v závislosti na čase, povrch kvádru v závislosti na velikostech jeho hran, objem plynu v závislosti na teplotě a tlaku, objem výroby v závislosti na počtu pracovníků). Pojem funkce se v matematice objevuje v 17. století (R. Descartes

, I. Newton

, G. W. Leibniz

), i když závislosti mezi proměnnými veličinami byly zkoumány již dříve (dokonce již ve starém Řecku). O zpřesnění pojmu funkce a prozkoumání jejích obecných vlastností se zasloužili v 18. století J. Bernoulli

, L. Euler

a jiní, v 19. století zejména A. L. Cauchy

a pražský rodák B. Bolzano

, kteří mj. definovali důležitý pojem spojité funkce a studovali její vlastnosti.