funkce

Matematika, jeden ze základních pojmů matematické analýzy; zvláštní případ zobrazení, resp. binární relace. Funkcí se rozumí předpis, který každému prvku nějaké množiny čísel nebo skupin (uspořádaných n-tic) čísel (tzv. definičního oboru) přiřazuje číslo. Prvek definičního oboru se nazývá argument (nezávisle proměnná), přiřazené číslo je hodnota funkce (funkční hodnota). Podle toho, jakého typu je definiční obor, jde o funkci jedné nebo více proměnných, o funkci s reálnou nebo komplexní proměnnou ap. Podle toho, jaké jsou hodnoty funkce, jde o reálnou, resp. o komplexní funkci. Funkce lze definovat pomocí pojmů teorie množin jako podmnožinu F kartézského součinu definičního oboru funkce a množiny hodnot F, která má následující vlastnost: je-li \((x,y) \in F\), \((x,z) \in F\) pak \(y=z\) (tj. funkce přiřazuje každému prvku svého definičního oboru jen jeden prvek z množiny hodnot). Funkce se značí zpravidla písmeny: \(f, g, F, \Phi\) ap. Některé důležité funkce mají svá tradiční označení, například \(sin, log\). Hodnota funkce pro prvek \(x\) z definičního oboru se pak zapisuje \(f(x)\), \(\sqrt{x}\), \(sin\space x\) ap. Funkce je nejčastěji dána vzorcem, který popisuje přiřazení mezi argumentem \(x\) a hodnotou funkce, například:

Funkce však může být dána i jiným způsobem, například slovním popisem (například funkce, která každému číslu \(x\) přiřazuje počet prvočísel menších než \(x\)) nebo výčtem či tabulkou hodnot (zpravidla empirická funkce). Pomocí funkce lze matematicky popsat nejrůznější přírodní a společenské jevy, kdy jedna veličina se mění v závislosti na jiných (rychlost pohybujícího se tělesa v závislosti na čase, povrch kvádru v závislosti na velikostech jeho hran, objem plynu v závislosti na teplotě a tlaku, objem výroby v závislosti na počtu pracovníků). Pojem funkce se v matematice objevuje v 17. století (R. Descartes, I. Newton, G. W. Leibniz), i když závislosti mezi proměnnými veličinami byly zkoumány již dříve (dokonce již ve starém Řecku). O zpřesnění pojmu funkce a prozkoumání jejích obecných vlastností se zasloužili v 18. století J. Bernoulli, L. Euler a jiní, v 19. století zejména A. L. Cauchy a pražský rodák B. Bolzano, kteří mj. definovali důležitý pojem spojité funkce a studovali její vlastnosti.