topologie

Matematika

Obor matematiky zabývající se zkoumáním vlastností a vztahů útvarů vyskytujících se v geometrii a matematické analýze, které se zachovávají při oboustranně spojitých vzájemně jednoznačných (tzv. homeomorfních zobrazeních. Pro topologii se tedy například kružnice neliší od hranice obdélníka (je s ní homeomorfní), liší se však od úsečky. Některé topologické věty: každá podmnožina roviny homeomorfní s kružnicí rozděluje rovinu na dvě části; žádná podmnožina roviny homeomorfní s ůsečkou nerozděluje rovinu; je-li f spojité zobrazení uzavřené koule do sebe, pak rovnice f(x) = x má řešení. Počátky topologie jsou již u L. Eulera, některé základní myšlenky u B. Bolzana, řada důležitých idejí, pojmů a vět u B. Riemanna, G. Cantora a H. Poincarého. Základy současné obecné topologie položil F. Hausdorff; topologie v současném pojetí vznikala během 1.poloviny 20. století. Topologie se obvykle dělí na obecnou (množinovou), algebraickou (starší název kombinatorická) a diferenciální. Obecná topologie zkoumá především vlastnosti topologických prostorů, jejich podmnožin a spojitých zobrazení, ale také například uniformní prostory vznikající při vyšetřování stejnoměrné spojitosti. V algebraické topologii se prostory a zobrazení zkoumají s použitím grup a jiných algebraických útvarů. Diferenciální topologie úzce souvisí s diferenciální geometrií a zkoumá útvary se zřetelem k vlastnostem, které se nemění při diferencovatelných, vzájemně jednoznačných transformacích. Topologie se užívá v četných matematických oborech (geometrii, matematické analýze, teorii pravděpodobnosti, Booleově algebře) a také například v teoretické fyzice.

Vytvořeno: 14. 3. 2000
Aktualizováno: 24. 7. 2006
Autor: -red-

Odkazující hesla: Andrej Nikolajevič Tichonov, Grigorij Jakolevič Perelman, homeomorfní zobrazení, Poincarého hypotéza.