Fourierova transformace

Zobrazení, které umožní v některých případech převést řešení diferenciální rovnice na řešení algebraické rovnice.

Matematická metoda, která převádí funkci definovanou v časové nebo prostorové doméně do frekvenční domény. Hraje klíčovou roli v analýze signálů, kvantové mechanice a řešení diferenciálních rovnic.

Pro funkci $f(x)$ definovanou na reálné ose je Fourierova transformace definována jako:

$$F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \,dx.$$

Funkce $F(\xi)$ vyjadřuje, jaké frekvence se vyskytují ve funkci $f(x)$. Inverzní Fourierova transformace umožňuje zpětný přechod do původní domény:

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi) e^{2\pi i x \xi} \,d\xi.$$

Fourierova transformace se používá k analýze periodických i neperiodických signálů. Mezi klíčové aplikace patří:

• Zpracování signálů: rozklad signálů do jednotlivých frekvencí, filtrování.
• Řešení diferenciálních rovnic: přechod z časové do frekvenční domény umožňuje jednodušší řešení rovnic.
• Kvantová mechanika: vlnová funkce a její spektrální reprezentace.
• Obrazová analýza: zpracování a komprese obrazu (např. JPEG využívá diskrétní Fourierovu transformaci).

V praktických výpočtech se často používá diskrétní Fourierova transformace (DFT), která pracuje s diskrétními hodnotami signálů. K její efektivní implementaci se využívá rychlá Fourierova transformace (FFT).